朝神又發(fā)表了久違的爐石論文，這次的題目是《數(shù)學(xué)系爐石專(zhuān)業(yè)課(二)：一場(chǎng)比賽是如何進(jìn)行的》。(編注：朝神的論文一開(kāi)始我是拒絕的，因?yàn)樗娴氖遣患訕?biāo)點(diǎn)啊!)

  引言

  爐石的嘉年華比賽正在如火如茶(tu)的進(jìn)行著，這個(gè)比賽的賽制我想大家都知道了。其實(shí)我是不太知道的，大概是5ban1的征服4，然后賽前提交的卡組。

  由于是賽前提交卡組，所以很多人都會(huì)根據(jù)卡組的優(yōu)劣勢(shì)分析一下比賽結(jié)果，寫(xiě)了很多預(yù)測(cè)貼(當(dāng)然這里要提醒大家，預(yù)測(cè)貼不要隨便去抄人家的然后說(shuō)是自己做的，特別是本科到master發(fā)了十幾篇論文的學(xué)霸)。網(wǎng)易媽媽也弄了個(gè)活動(dòng)預(yù)測(cè)冠軍拿卡包，也讓大家紛紛想進(jìn)行更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。我呢，就是抄襲了包子的預(yù)測(cè)結(jié)果，選了他看好的幾個(gè)人中的一個(gè)(哦，他選的是太子)。

  然后還有一點(diǎn)就是，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)比賽還有博彩可以下注的，所以大家上課要好好聽(tīng)講，認(rèn)真記筆記，如果你學(xué)會(huì)了這節(jié)課講的東西，就可以自己去計(jì)算賠率，然后根據(jù)市場(chǎng)結(jié)果購(gòu)買(mǎi)博彩，就有可能一夜暴富。

  假設(shè)

  言歸正傳，這里用到的方法跟他們做預(yù)測(cè)所謂的方法在第一步是一樣的，所以那種預(yù)測(cè)還是很有參考價(jià)值的，但是首先我們得做幾個(gè)假設(shè)：

  1. 每場(chǎng)比賽中任何倆個(gè)卡組交戰(zhàn)勝率是固定的;

  2.每位選手都足夠聰明。

  對(duì)于第一點(diǎn)假設(shè)是比較好成立的，這個(gè)假設(shè)不是說(shuō)冰法打藍(lán)龍德勝率是固定的，首先在這個(gè)賽制下比賽卡組是固定的，不能修改，所以你不能看見(jiàn)冰法多帶兩張奶。其次比賽選手是固定的，畢竟每個(gè)人玩不同卡組熟練度不同。由于這是世錦賽，那么沒(méi)有道理選手對(duì)雙方?jīng)]有足夠的了解，因此雙方對(duì)勝率的判斷保持一致。

  然后這個(gè)勝率可以將很多因素都考慮進(jìn)去，不止是卡組、選手，還可以是狀態(tài)、網(wǎng)絡(luò)情況、心理因素等等。

  關(guān)于第二點(diǎn)假設(shè)，這個(gè)嗎，好吧，我只能說(shuō)他們的確足夠聰明，不然不會(huì)打進(jìn)嘉年華，但是應(yīng)該是不會(huì)做我下面要說(shuō)的那一套東西的。但是我們會(huì)有一個(gè)博弈論的重要結(jié)果來(lái)闡述我們的結(jié)論。

  然后這節(jié)課做的東西跟《數(shù)學(xué)系爐石專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文(三)》討論的問(wèn)題很像，但是更加簡(jiǎn)單，如果你聽(tīng)懂了這節(jié)課，建議去讀讀那篇文章。

  征服

  我們首先跳過(guò)ban的環(huán)節(jié)，來(lái)看看一場(chǎng)征服四的比賽會(huì)發(fā)生什么，當(dāng)然也可以是征服一、征服二、征服三。

  首先，雙方各選擇一個(gè)職業(yè)出場(chǎng)，gameover后1:0。然后換職業(yè)，除非一方拿了三分才沒(méi)有選擇職業(yè)的能力。那么，問(wèn)題來(lái)了，在一場(chǎng)征服比賽中，有必要戰(zhàn)略性放棄一場(chǎng)比賽嗎?比如我明知a卡組打?qū)γ娑己么?，非要選擇打?qū)γ娑疾缓么虻腷卡組，也許有人會(huì)說(shuō)反正b卡組也要跑。但是我想這是沒(méi)有必要的，我的感覺(jué)就是三打四總比四打四好打，不過(guò)我也不想嘗試去證明這一點(diǎn)(沒(méi)空)，也不知道能不能證出來(lái)，所以嚴(yán)謹(jǐn)而言，我們把它作為第三個(gè)假設(shè)：

  假設(shè)3：每一場(chǎng)對(duì)局中，雙方都想極大化自己的勝率。

  不過(guò)有一種情況，就是說(shuō)一個(gè)拿到了賽點(diǎn)，那么這個(gè)時(shí)候不考慮心理因素(這堂課將不會(huì)考慮這個(gè)復(fù)雜的因素，當(dāng)然也可以考慮，畢竟只是改變勝率，但會(huì)讓整個(gè)分析非常復(fù)雜)，這時(shí)落后的玩家先后用哪個(gè)職業(yè)沒(méi)有影響，所以也不妨礙我們這個(gè)假設(shè)下的結(jié)果。

  那么問(wèn)題就很簡(jiǎn)單的，這場(chǎng)比賽可以看成一連串的矩陣博弈(好像是叫什么序慣博弈)，根據(jù)矩陣博弈的結(jié)論，每一局必存在一個(gè)納什均衡，在大多數(shù)情況 這個(gè)納什均衡是混合的，也就說(shuō)選手以某個(gè)概率掏出某個(gè)職業(yè)。在納什均衡下，每位選手獲得一個(gè)固定的勝率，因此以固定的概率進(jìn)入下一個(gè)博弈，最后通過(guò)簡(jiǎn)單的加法和乘法就可以算出雙方選手的勝率。為了便于理解，畫(huà)個(gè)圖說(shuō)明一下，如果沒(méi)有圖那就是我忘了，我想以大家的聰明才智是可以自己畫(huà)出圖的。

  這個(gè)圖比較簡(jiǎn)化，因?yàn)樵诿恳徊竭x手的職業(yè)是個(gè)混合策略，因?yàn)榧词笲以概率p1獲勝，在下一步他的三個(gè)職業(yè)是有4種可能的(也有可能某個(gè)職業(yè)在策略里的比例是0 那就少了相應(yīng)的一種情況)，把p1乘以那個(gè)比例就得到了相應(yīng)的確定的3職業(yè)對(duì)4職業(yè)的對(duì)陣，按照一樣的方法往下做就好了。

  均衡  關(guān)于均衡這里說(shuō)幾點(diǎn)，很多選手和玩家覺(jué)得：假如在某種情況，我的有且只有某個(gè)卡組打?qū)γ娴亩际莾?yōu)勢(shì)，那么我就應(yīng)該選用這個(gè)卡組。其實(shí)這是不對(duì)的。舉個(gè)例子，你的薩滿打?qū)γ娴膭俾史謩e是：80%、60%、70%、50.1%，那么你無(wú)腦用薩滿的結(jié)果是對(duì)面用打薩滿最不劣的職業(yè)，你只獲得了50.1%的勝率，但是用腳趾頭想想 在大多數(shù)情況下你都不該只有這個(gè)勝率。在混合納什均衡解下，你會(huì)以一個(gè)高的概率掏出薩滿，然后還有一個(gè)小的概率掏別的職業(yè)。

  禁選

  下面我們?cè)倏紤]如何ban。

  雙方各5個(gè)職業(yè)，總共只有25種ban的情況，在每種情況下用上面的序慣(好像是貫唉)博弈，你都會(huì)得到一個(gè)勝率的結(jié)果，填到一個(gè)5*5的矩陣?yán)铮憔陀值玫搅艘粋€(gè)矩陣博弈，所以你又會(huì)得到一個(gè)納什均衡的解。同樣的 大多數(shù)情況下，這個(gè)解應(yīng)該是混合納什均衡，也就是說(shuō)你是以某個(gè)概率ban對(duì)面的某個(gè)職業(yè)，只有特殊情況下才會(huì)固定的ban對(duì)面某個(gè)職業(yè)。

  隨機(jī)

  在解完這個(gè)問(wèn)題后，選手應(yīng)該怎么實(shí)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的解呢?因?yàn)樗仨氁阅硞€(gè)概率ban對(duì)面職業(yè)，在每局比賽中，又是以某個(gè)概率掏出一個(gè)職業(yè)。

  首先，我們說(shuō)明一點(diǎn)：人腦是無(wú)法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的。目前大自然中還沒(méi)有辦法能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，所以只能用偽隨機(jī)代替。舉個(gè)例子就是我們概率實(shí)踐課上的一個(gè)作業(yè)，拋硬幣正反面來(lái)記錄，如果你不拋用人腦來(lái)做這件事，一般是無(wú)法通過(guò)隨機(jī)性檢驗(yàn)的，也就是說(shuō)人腦產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)特別差。有興趣的可以自己去學(xué)學(xué)這些東西，然后推薦大家去看我寫(xiě)的《數(shù)學(xué)系爐石專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文(一)》。

  因此，我們必須借助一個(gè)好的隨機(jī)數(shù)生成器，比如計(jì)算器。在比賽里計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，幫助自己做好的選擇是可以大大提高比賽勝率的!計(jì)算器不該只用來(lái)算斬殺哦。

  但是比賽中不允許使用計(jì)算器不過(guò)沒(méi)有關(guān)系，你可以事先就生成這些隨機(jī)數(shù)，然后在每次需要使用時(shí)依次調(diào)用就可以了(注意是依次，其實(shí)可以是隨機(jī)的順序，但是人腦不能產(chǎn)生隨機(jī)數(shù))。

  步驟

  說(shuō)了這么多，這里用圖來(lái)總結(jié)一下具體的操作步驟。

  對(duì)于如何用ui來(lái)選擇職業(yè)或者ban，舉個(gè)例子，比如你以概率0.5選擇薩滿、0.2選擇小德、0.18選擇戰(zhàn)士、0.12選擇術(shù)士，那么當(dāng)ui在0到0.5時(shí)用薩滿、0.5到0.7用小德、0.7到0.88用戰(zhàn)士、0.88到1用術(shù)士。當(dāng)然這個(gè)變化規(guī)律你得事先定好，總不能落在哪個(gè)區(qū)間就讓那個(gè)區(qū)間取成薩滿吧。

  意義

  只要滿足我們的假設(shè)，然后可以準(zhǔn)備的估計(jì)每一場(chǎng)對(duì)陣的勝率，選手按照我們的步驟來(lái)比賽就可以得到理論條件下自己的勝率。但是你會(huì)說(shuō)，如果對(duì)手不按你的要求來(lái) 不按常理出牌怎么辦?沒(méi)關(guān)系，博弈論有個(gè)重要的結(jié)果：

  只要你按照混合納什均衡的策略，那么對(duì)手的策略不會(huì)影響你的收益。也就是說(shuō)，隨便對(duì)手怎么ban怎么挑職業(yè)，你都會(huì)收獲一個(gè)固定的勝率，對(duì)于純策略納什均衡，你只會(huì)得到一個(gè)更高的獲勝概率。

  也就是說(shuō)除非你知道對(duì)手會(huì)怎么ban怎么出職業(yè)，不然你按照我的這個(gè)解來(lái)是最優(yōu)的。

  博彩

  對(duì)于想賺錢(qián)或者卡包的，這個(gè)問(wèn)題要復(fù)雜點(diǎn)，因?yàn)楣烙?jì)的勝率必須雙方都是足夠聰明，才會(huì)得到解里面的勝率。但是一旦滿足假設(shè)，你求出了解，那么你就可以去和博彩給出的賠率計(jì)算的概率(賠率的倒數(shù))，比較一下，如果賠率低估了，你就可以買(mǎi)，從而獲得一個(gè)正的期望。數(shù)學(xué)上的大數(shù)定律和中心極限定理會(huì)保證 你一直這么做，你會(huì)以概率1賺錢(qián)，當(dāng)然概率1的事是可能不發(fā)生的。

  當(dāng)然，理想情況下博彩的賠率會(huì)和我給出的解吻合，除非有傻逼喜歡送錢(qián)給莊家。

  課堂

  別去找第一課在哪，我們學(xué)校第一周還在補(bǔ)退選階段，怎么可能用來(lái)講這么重要的專(zhuān)業(yè)課呢!那些沒(méi)聽(tīng)到課的學(xué)生考試掛了不是要怪我咯。

  所以第一節(jié)課大概是在讓學(xué)生自我介紹或者給學(xué)生解說(shuō)解說(shuō)嘉年華比賽吧。