2/3 游戲攻略

納什均衡(Nash Equilibrium)

定義：沒(méi)有玩家可以通過(guò)改變策略(其他參與者保持不變)而獲益，這樣的結(jié)果叫做納什均衡。例如：在囚徒困境里，兩個(gè)人互不信任，任何一個(gè)人單方面信任別人都是自殺行為，所以互相背叛就是“納什均衡”。

關(guān)于 2/3 游戲，《紐約時(shí)報(bào)》有這樣一篇文章： Puzzle: Are You Smarter Than 61,139 Other New York Times Readers? 請(qǐng)自己隨便選一個(gè)數(shù)字，看看自己能否在全球玩家中勝出。目前，參與測(cè)試的全球玩家得出的獲勝值是19

選擇和紫小姐合作，問(wèn)題會(huì)困難一些。提示：如果別人的總和是 a，那么自己想要等于平均數(shù)的 2/3，則 x = 2/3·(x+a)/5，x = 2a/13。

男主角說(shuō)：“20 偏大。如果大家都足夠聰明，輸入的應(yīng)該都是同一個(gè)數(shù)字 0?！?

這是“納什均衡”的答案，參考《紐約時(shí)報(bào)》的測(cè)試結(jié)果。大家不知道別人的選擇。假定每個(gè)人都是等價(jià)的。假定每個(gè)人都選了 x 附近(比如大家選了 50 附近，例如 48，49，50，51，52)，那么平均數(shù)的 2/3 小于 x，那么這些人里最小的那個(gè)人將會(huì)獲勝。因?yàn)?2/3 規(guī)則，當(dāng)大家的數(shù)字差不多大的時(shí)候，總是最小的那個(gè)獲勝。這樣大家都會(huì)自私地選擇更小的數(shù)字。所以，男主角說(shuō)：“如果大家都足夠聰明，輸入的應(yīng)該都是同一個(gè)數(shù)字 0?！?

根據(jù)納什均衡的定義，所有人都選擇 0 才是個(gè)人最優(yōu)解，任何一個(gè)人單方面選擇大于 0 的數(shù)字都是自爆。

男主角說(shuō)：“但是我們不能選 0。”

大家都選 0 的假設(shè)是“假定每個(gè)人都是等同的?！睂?shí)際上，可能有兩個(gè)人串通起來(lái)，讓一個(gè)人刻意干擾平均值。

男主角說(shuō)：“兩個(gè)人的結(jié)盟中，除了一個(gè)人輸入 100 拉高平均數(shù)之外，還有什么更有效的方案嗎……”

由于 2/3 規(guī)則，輸入的數(shù)字總是會(huì)被拉低，所以輸入 100 是自爆行為。如果每個(gè)人都不結(jié)盟，那么沒(méi)有人會(huì)選擇 100，大家都會(huì)自私地選擇更小的數(shù)。既然結(jié)盟，那么一個(gè)人自爆故意拉高平均值，讓隊(duì)友獲勝，這是有效的方案。

男主角說(shuō)：“綠小姐應(yīng)該會(huì)輸入 100。”

劇情中，綠小姐是無(wú)腦工具人。在狼人游戲里，被橙小姐利用。在這個(gè)游戲里，又被白小姐利用。綠小姐扮演了自爆的角色。

男主角說(shuō)：“獲勝數(shù)最小會(huì)是 35?！?

已知三個(gè)人總和 230，如果白小姐是 0，那么 x = 2/13×230 ≈ 35。

男主角說(shuō)：“獲勝數(shù)最大會(huì)是 57?！?這里懷疑答案有誤。)

已知三個(gè)人總和 230，如果白小姐是 100，那么 x = 2/13×330 ≈ 51。

男主角說(shuō)：“立于不敗的數(shù)字是 42?！?

顯然，上述的范圍估計(jì)是極端情形，沒(méi)有人會(huì)這樣自爆。如果白小姐和男主角同樣聰明，他們會(huì)選擇同樣的數(shù)字 x，那么 2/3·(2x+230)/5 = x，x ≈ 42。這兩人中，任何一個(gè)人不選擇 42 都是自爆行為，因?yàn)槠骄鶖?shù)的變化范圍一定比單獨(dú)一個(gè)人的變化范圍小。如果一個(gè)人偏離了 42，那么獲勝值的偏離量一定更小。如果一個(gè)人偏離了 y，那么獲勝值只偏離 2y/15。所以選擇 42 是必勝行為，不選 42 是自殺行為。

這同樣是一個(gè)“納什均衡”。已知其他三個(gè)人的總和是 230 的情況下，男主角和白小姐必選 42，任何一個(gè)人不選擇 42 都是自爆行為。

如果選擇去找白小姐。白小姐告知：“L 先生 30，綠小姐 0，紫小姐 0，白小姐 20?！蹦敲?，男主角應(yīng)該 2/13·(30+0+0+20) ≈ 8。但是，白小姐顯然是誘導(dǎo)男主角，實(shí)際綠小姐是 100。如果男主角選擇 8，白小姐選擇 2/13·(30+100+0+8) ≈ 21，這才是白小姐的意圖。男主角應(yīng)該選擇 2/13·(30+100+0+21) ≈ 23。沒(méi)有計(jì)算難度，沒(méi)有納什均衡，僅僅是套路和反套路，即“我預(yù)判了你的預(yù)判”。