四、一般行星

直接從一般行星的天頂角表達(dá)式入手很難，但是我們可以先不直接考慮天頂角，而是去求目標(biāo)點(diǎn)和恒星在彈射器處的視向關(guān)系。

其實(shí)從目標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算方法中可以看到。目標(biāo)點(diǎn)、恒星、行星之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，在行星處的夾角為arctan(R/r)，這也可以說(shuō)是在彈射器處恒星與目標(biāo)點(diǎn)的視張角(彈射器的具體位置對(duì)三角形的影響很小)。如果R遠(yuǎn)小于r，那么自然退回到以恒星高度角代替目標(biāo)點(diǎn)天頂角余角的情形中去。OT=OP+PT=(-Mcosθsinω，Mcosθcosω，Msinθcos(ω-η))，該向量的模長(zhǎng)固定。故在彈射器看來(lái)，目標(biāo)點(diǎn)一年的視運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)圍繞恒星的圓周運(yùn)動(dòng)，在一天中隨著恒星一起升落。彈射器視運(yùn)動(dòng)的方向與軌道面法向有關(guān)。

1.恒星的視運(yùn)動(dòng)

(原圖來(lái)自網(wǎng)絡(luò))

恒星的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面S與天球的交，地平面為G，南北-東西線交點(diǎn)是觀測(cè)點(diǎn)。圖中虛線所示為北半球極晝區(qū)域的恒星視運(yùn)動(dòng)(這個(gè)視運(yùn)動(dòng)是勻速的)。向赤道區(qū)域走北側(cè)軌跡會(huì)下沉，南側(cè)上升，恒星位于地平面以下時(shí)就是夜晚。

目標(biāo)點(diǎn)的視運(yùn)動(dòng)區(qū)域必定在兩條紅線之間。

恒星高度角φ取決于當(dāng)?shù)鼐暥圈梁秃阈侵鄙潼c(diǎn)緯度δ(同樣是北緯正南緯負(fù))，滿足sinφ=sinαsinδ-cosαcosδcos(2πt/K)。

2.估計(jì)可用時(shí)間的下限

而恒星高度角φ與目標(biāo)點(diǎn)天頂角τ的關(guān)系為

90°-τ-ζ≤φ≤90°-τ+ζ

ζ=arctan(R/r)，

30°≤τ≤85°的充分(不必要)條件是min(5°+ζ，60°-ζ)≤φ≤max(5°+ζ，60°-ζ)。我們的問(wèn)題是如何選取α

使得滿足以下判據(jù)的t的區(qū)間Δt最長(zhǎng)。

求解Δt得到的是一個(gè)還算齊整但也不好算的表達(dá)式。

形式雖然仍對(duì)解析不友好，但是到這里已經(jīng)可以做下數(shù)值求解了。

取a=0.2，b=0.82(對(duì)應(yīng)ζ=5°)，可以獲得下圖：

而如果對(duì)應(yīng)ζ=30°，則有：

縱坐標(biāo)已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一天中可發(fā)射時(shí)間與自轉(zhuǎn)周期之比。

需要說(shuō)明的是兩圖最上方和最下面的曲線兩端翹起部分是因?yàn)樵谠搮^(qū)間下反余弦函數(shù)內(nèi)的分母會(huì)急劇減小，計(jì)算機(jī)不會(huì)算極限導(dǎo)致數(shù)值膨脹，實(shí)際趨勢(shì)是向下的。

從圖中可見(jiàn)：

1.恒星直射角變化的影響是將該曲線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。也就是說(shuō)，地軸傾角越大，該曲線一年中越能“顛來(lái)倒去”，所以大地軸傾角(>20°)的行星可以考慮在南北對(duì)稱布置彈射器，或者扔在全年不虧的低緯度地區(qū)(<20°)。

2.在任一緯度處畫一條豎線，與各曲線的交點(diǎn)可以看作是該緯度上彈射器發(fā)射占比在一年中的變化?？梢?jiàn)全年都有較大發(fā)射范圍的優(yōu)勢(shì)區(qū)域隨太陽(yáng)帆軌道半徑與行星軌道半徑R/r之比的增大而向低緯度收縮。小半徑軌道優(yōu)勢(shì)區(qū)域在20°-40°的中緯度，大半徑軌道優(yōu)勢(shì)區(qū)域則是南北緯10°之內(nèi)。

以上結(jié)論有一點(diǎn)要注意：上述討論的發(fā)射占比是“下限”，實(shí)際根據(jù)軌道形態(tài)、升交角經(jīng)度與行星冬夏季節(jié)的關(guān)系在一些地方可以產(chǎn)生額外的發(fā)射窗口。